並列タイトル等カズ ノ テンカイ ト カンレンスル ランダム リキガクケイ ノ エルゴード リロンテキ ケンキュウ
Kazu no tenkai to kanrensuru randamu rikigakukei no erugōdo rironteki kenkyū
Studies on random dynamical systems related to expansions of real numbers
一般注記type:text
本研究では実数の展開、とくに1よりも大きい実数βを底とする数の展開（β-展開）や、連分数展開と関連するランダム力学系のエルゴード理論的性質を研究した。具体的には、複数個の底による数の展開や、あるクラスの非正則連分数展開に対して、それらを生成するランダム力学系のエルゴード理論的性質を研究した。とくに、具体的なランダム力学系に対して、力学系の統計量を記述する絶対連続不変確率測度の密度関数やランダム力学系ゼータ関数の解析接続の明示式を与えること、および一般論的視点から、あるクラスの非正則連分数を生成するランダム力学系のような、非一様拡大写像によるランダム力学系をとりあつかうための理論構築を目標に研究を行った。
具体的な力学系に関する結果として、有限個の底による数の展開を生成するランダム力学系の絶対連続不変測度の明示公式を与えることができた。その方法は若干の修正により無限個の底による数の展開を生成するランダム力学系に関しても一般化が可能であることが見込まれるものであり、今後の研究でその一般化を試みる。またそのランダム力学系に対する（平均）ランダム力学系ゼータ関数の解析接続を、各底の超越性を仮定した場合に得ており、今後はその仮定を外すことを目標に研究を行う。この研究の派生として、決定論的力学系の場合に-1よりも小さい数を底とする数の展開（-β展開）の代数的性質に関連する結果が得られている。
一般論の構成に関しては、海外の共同研究者と共に非一様拡大写像によるランダム力学系のエルゴード理論的研究を進めた。その結果、滑らかな多様体上で定義される局所微分同相写像によるランダム力学系が弱い平均拡大性をもつならば、そのランダム力学系がただ1つの最大エントロピー測度を有するとの結果を得た。この結果に関しては現在論文を作成しており、今後より一般的な設定の下で研究を進める予定である。
This study focused on investigating the ergodic properties of random dynamical systems related to expansions of real numbers, such as random systems generating multi-base expansion or some irregular continued fraction expansions. The aim of this study is:
1. to give an explicit formula for some statistical quantities for random dynamical systems, such as invariant density functions and mean random dynamical zeta functions, and
2. to extend general theory to include random non-uniformly expanding maps in view of thermodynamic formalism, intended to treat a sort of multi-dimensional continued fraction maps.
In the study concerning item 1, I obtained an explicit formula for invariant density functions of random dynamical systems generating multi-base expansions under the assumption that the number of the base is finite. Furthermore, I gave the analytic continuation of their mean random dynamical zeta functions in case all bases are transcendental. As a derivative result of this study, the set of all conjugates of (-β)-numbers was determined.
Concerning the study for item 2, with international collaborators, we obtained the result that for a random dynamical systems of local diffeomorphisms on a smooth manifold having a weak mean expanding condition, there exists a unique maximal entropy measure. We plan to proceed with this study in more general setting.
一次資料へのリンクURLhttps://koara.lib.keio.ac.jp/xoonips/modules/xoonips/download.php?koara_id=2019000007-20190244
連携機関・データベース国立情報学研究所 : 学術機関リポジトリデータベース（IRDB）（機関リポジトリ）