並列タイトル等Unramified Solutions of Inverse Galois Problems and their Applications
タイトル（掲載誌）平成19(2007)年度 科学研究費補助金 基盤研究(C) 研究成果報告書 = 2007 Fiscal Year Final Research Report
一般注記研究代表者の野村は、先ず3次巡回体の3類体塔について考察し、類体塔の長さが1より大きくなるための十分条件を与えた。さらに、研究実施計画に記した「非可換p群に対するガロアの逆問題」について研究した。pを奇素数とする。任意のp群Gに対して、有理数体Q上のガロア拡大K/Qでそのガロア群がGと同型なものが存在することは、Scholz(1936)により証明されている。そこで、ガロア群Gを実現するガロア拡大K/Qに「tamely ramified」という条件を付けるときに分岐するprimeをどこまで少なくできるか?という問題を考える。その最少個数をt-ram(G)で表しd(G)をp群Gの生成元の最少個数とすると円分体の理論よりd(G)≦t-ram(G)であることがわかる。d(G)=t-ram(G)という予想はあるが一般には未解決である。予想の解決を伝えた論文[Cueto-Hernandez, Villa-Salvador(2000)]もあるが、この中に本質的なミスがあることをPlans(2004, Pacific J. Math.)が指摘している。Plansは同じ論文の中でt-ram(G)の上からの評価(不等式)を与えた。本研究では、Plansの不等式を改良し、それが実質的な改良であることを示す具体例を与えた。さらに,Gが位数243以下の3群の場合にd(G)=t-ram(G)であることを証明した。これらの結果はArch. Math.に掲載予定(印刷中)である。これらの研究においては、分担者である伊藤による群論的考察、平林と木村によるイデアル類群の研究が重要な役割を果たした。
Head investigator Nomura studied the existence of unramified 3-extensions over cyclic cubic fields and gave a sufficient condition that the length of the 3-class field tower of a cyclic cubic field is greater than 1.Nomura also studied the number of primes which are ramified in G-extension. Let p be an odd prime number. Scholz and Reichardt proved that every p-group G can be realized as the Galois group of some extension M of the rational number field Q. For a finite p-group G, let t-ram(G) denote the minimal integer such that G can be realized as the Galois group of a tamely ramified extension of Q ramified only at t-ram(G) finite primes. We denote by d(G) the minimal number of generators of a finite p-group G. Then it is well-known d(G) t-ram(G) ≦n, where p^n is the order of G. Plans(2004)proved a better upper bound for t-ram(G). Nomura proved an improvement of the result of Plans. Nomura also proved that t-ram(G) =d(G) for any 3-group G of order less than or equal to 243.Investigator Ito cooperated in this research by group theoretical consideration. And considerations by Hirabayashi and Kimura concerning the ideal class group played an important role to this research.
研究課題/領域番号:18540022, 研究期間(年度):2006-2007
出典：「ガロアの逆問題の不分岐解とその応用に関する研究」研究成果報告書 課題番号18540022 (KAKEN：科学研究費助成事業データベース（国立情報学研究所）) 本文データは著者版報告書より作成
関連情報https://kaken.nii.ac.jp/search/?qm=00313700
https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-18540022/
https://kaken.nii.ac.jp/report/KAKENHI-PROJECT-18540022/185400222007kenkyu_seika_hokoku_gaiyo/
連携機関・データベース国立情報学研究所 : 学術機関リポジトリデータベース（IRDB）（機関リポジトリ）