3次元多様体のフロースパインと接触構造に関する研究

• Material Type: 文書・図像類
• Title: 3次元多様体のフロースパインと接触構造に関する研究
• Author/Editor: 石川, 昌治
• Author Heading: 石川, 昌治
• Publication, Distribution, etc.: 慶應義塾大学
• Publication Date: 2018
• Publication Date (W3CDTF): 2018
• Alternative Title: 3ジゲン タヨウタイ ノ フロー スパイン ト セッショク コウゾウ ニ カンスル ケンキュウ; 3jigen tayōtai no furō supain to sesshoku kōzō ni kansuru kenkyū; Research on correspondence between flow-spines and contact structures on 3-manifolds
• Periodical title: 学事振興資金研究成果実績報告書
• Text Language Code: jpn; eng
• Target Audience: 一般
• Note (General): type:text; フロースパインと接触構造の対応に関する研究を行い，特に，正フロースパインの集合から３次元接触多様体の集合への全射を構成した．これは３次元多様体のオープンブック分解と接触構造に関する Giroux 対応のフロースパインにおけるアナロジーである． フロースパインの頂点は l-型と r-型の２種類に分けられるが，l-型の方が正の接触構造との相性が良く，ここでは頂点がすべて l-型である場合に注目する．ストークスの定理から導かれる性質から，多面体の特異集合の近傍の組み合わせに関するホモロジーレベルの条件が必要となるのだが，l-型の頂点のみをもつ場合には，この条件は必ず満たされることを示すことができた．以上の考察から，頂点を１つ以上もち，かつ，l-型の頂点のみをもつフロースパインを正フロースパインと定義する． 主張にある全射の存在を示すためには，正フロースパインに対する接触構造の存在および一意性と，３次元接触多様体に対する正フロースパインの存在を証明する必要がある．証明では，まず，フロースパインから reference 1-形式と呼ばれる1-形式を導入し，これを目印にして，３次元多様体内の接触形式を構成する．一意性の主張では，２つの接触構造が同じ正フロースパインに対応する場合に，それらを与える接触形式を接触形式の一変数族で結べることを示す．ここでも reference 1-形式が重要な役割を果たす．最後の接触構造に対する正フロースパインの存在の証明では，接触構造に対応するオープンブック分解の存在を利用し，そこから正フロースパインを具体的に構成する．いずれも，Giroux 対応とは異なり，スパインの構造を考慮した，より複雑な証明となる． In this year, I studied a correspondence between flow-spines and contact structures, and proved the existence of a surjection from the set of positive flow-spines and the set of contact 3-manifolds up to contactomorphisms. This is an analogy of the Giroux correspondence between open book decompositions and contact structures of 3-manifolds. There are two kinds of vertices for flow-spines, named l-type and r-type. We focus on flow-spines with only l-type vertices since they have good relation with positive contact structures. There is a necessary condition coming from Stokes' theorem, and we could show that this condition is satisfied if all vertices are of l-type. Following these observation, we decided to define a positive flow-spine to be a flow-spine with at least one vertex and all vertices are of l-type. To prove the existence of the surjection, we need to show the existence and uniqueness of a contact structure for a given positive flow-spine and show the existence of a positive flow-spine for a given contact structure. To show these assertions, we first introduce a reference 1-form with respect to a given positive flow-spine and make a contact form using this 1-form. The uniquencee is proved by giving a one-parameter family of contact forms connecting two contact structures corresponding to the same positive flow-spine. The existence of a positive flow-spine is proved by giving it explicitly from a given contact structure via an open book decomposition, whose existence is guaranteed by Giroux. All proofs are more complicated than Giroux's argument since spines are rather complicated than open books.
• Source: https://koara.lib.keio.ac.jp/xoonips/modules/xoonips/download.php?koara_id=2018000005-20180259
• Access Restrictions: 限定公開
• Data Provider (Database): 国立情報学研究所 : 学術機関リポジトリデータベース（IRDB）（機関リポジトリ）; https://irdb.nii.ac.jp
• Original Data Provider (Database): 慶應義塾大学 : 慶應義塾大学学術情報リポジトリ